計算コラム

(87) 数値積分2017/9/12

 ある関数を積分するとき、積分した結果を式で表せるもの、つまり解析的に積分できるものは限られている。 そのような中で、関数の定積分の値を数値的に求める手法として「数値積分法」がある。 数値積分法には様々な手法があり、簡単なもので「台形則」、少し複雑な方法で「Gauss求積法」等が挙げられる。 「台形則」は定積分を台形の集まりとして計算する。(図1) 簡単に計算できる方法なので用いられることも多いが、分割数を増やしても、精度はそれほど期待できない。 これに対して、Gauss求積法は定積分をある点「分点」での「重み」と、その分点での関数の値を足し合わせることによって計算される。(式2)
Gauss求積法は条件により制限はあるが、少ない演算でもかなりの精度で求めることが可能である。 例えば、(式3)を台形則で積分すると、8分割~64分割で求めても3,4桁の精度しか出ないのに対し、Gauss-Legendre則で積分すると、下記のように8分割でも11桁、64分割では50桁の精度で求められる。

分割数 台形則 Gauss-Legendre則
8 3.14 3.1415926536
16 3.14 3.141592653589793238463
32 3.141 3.14159265358979323846264338327950288419717
64 3.142 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

「数値積分」計算を整理・充実したので、是非利用して数値積分の世界に触れてみて欲しい。
関連リンク
[1] 台形則
[2] ガウス-ルジャンドル数値積分
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