ロンバーグ積分（漸化表）

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有限区間（a,b）の積分をロンバーグ積分で計算し、漸化表を求めます。

ロンバーグ積分の計算過程となる、リチャードソン補間を適用したロンバーグ漸化表を作成します。
最後の対角要素が求める積分値の最良解となります。

\(I={\large\int_a^{b}}f(x)dx=R_{\small n}^{\small\ k}+O((\frac{b-a}{2^n})^{\small 2k+2})\\
\hspace{10px} R_{\small 0}^{\small\ 0}\\
\hspace{10px} R_{\small 1}^{\small\ 0}\hspace{30px} R_{\small 1}^{\small\ 1}\\
\hspace{10px} \cdots\hspace{40px} \cdots\hspace{30px} \ddots \\
\hspace{10px} R_{\small n-1}^{\small\ 0}\hspace{15px} R_{\small n-1}^{\small\ 1}\hspace{15px} \cdots \hspace{10px} R_{\small n-1}^{\small\ n-1}\\
\hspace{10px} R_{\small n}^{\small\ 0}\hspace{30px} R_{\small n}^{\small\ 1}\hspace{30px} \cdots \hspace{10px} R_{\small n}^{\small\ n-1}\hspace{20px} R_{\small n}^{\small\ n}\\
\)

Romberg積分は、nの増加とともに積分値が収束していきます。
分割数は、2, 4, 8, 16, ..., N=2ⁿまで倍々で増やしながら計算します。
端点が解析的でない場合、中点則で求められます。例 sin(x)/x, [0.π/2]
周期関数の場合、非線形変換で求められます。例 (cos(64x))^2, [0,π]

\(\normalsize Romberg\ integration\\
(1)\ Trapezoidal\ rule\\
\hspace{10px} R_{\small 0}^{\small\ 0}= {\large\frac{h_0}{2}}\{f(a)+f(b)\}, \hspace{20px}h_0=b-a\\
\hspace{8px} R_{\small n}^{\small\ 0}= {\large\frac{R_{\small n-1}^{\small\ 0}}{2}}+h_n{\large \displaystyle \sum_{\tiny j=1}^{\small 2^{n-1}}}f(a+(2j-1)h_n)\\
\hspace{190px}h_n={\large\frac{b-a}{2^n}}\\
(2)\ Midpoint\ rule\\
\hspace{10px} R_{\small 0}^{\small\ 0}= h_0f(a+{\large\frac{h_0}{2}}),\hspace{20px}h_0=b-a\\
\hspace{10px} R_{\small n}^{\small\ 0}= h_n{\large \displaystyle \sum_{\tiny j=1}^{\small 2^n}}f(a+(j-\frac{1}{2})h_n), \hspace{15px}h_n={\large\frac{b-a}{2^n}}\\
(3)\ R_{\small n}^{\small\ k}= {\large\frac{4^{\small k} R_{\small n}^{\small\ k-1}-R_{\small n-1}^{\small\ k-1}}{4^{\small k}-1}}\\
(4)\ Relative\ Error\hspace{30px} \epsilon_{\small n}=\left|\frac{R_{\small n}^{\small\ n}-R_{\small n-1}^{\small\ n-1}}{R_{\small n}^{\small\ n}}\right|\\
Non-linear\ substitution\ in\ x\\
\hspace{25px} I={\large\int_a^{b}}f(x)dx\ ={\large\int_{\small-1}^{\small1}}f(x)\ \frac{b-a}{2}\ \frac{3(1-u^2)}{2}du\\
\hspace{100px}x=\frac{b-a}{2}t+\frac{b+a}{2},\hspace{20px}t=\frac{u}{2}(3-u^2)\)

ロンバーグ積分（漸化表）

有限区間（a,b）の積分をロンバーグ積分で計算し、漸化表を求めます。

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