高等数学

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2変数のニュートン・ラフソン法 2変数のニュートン・ラフソン法を使って、f(x,y)=0, g(x,y)=0 を満たすx,yを計算します。 ∂f/∂x 、∂f/∂y、∂g/∂x、∂g/∂yも必要です。
3×3行列の固有値 3x3行列の固有値を求めます。 ご指摘ありがとうございます。 精度保証の桁数を、最高値の50桁にてご確認願います。 2017/02/09 再度修正しました。 (負の実数)^(1/3)の虚数部分の導出が正しくなかったようです。
4変数の常微分方程式をルンゲクッタ法(4段4次)で計算 dx/dt=f1(x,y,z,w,t) dy/dt=f2(x,y,z,w,t) dz/dt=f3(x,y,z,w,t) dw/dt=f4(x,y,z,w,t) という4変数の常微分方程式をルンゲクッタ法(4段4次)で計算します。
5次方程式の計算(複素数) 5次方程式をDKA法により計算します。係数は複素数も使えます。
6次方程式の計算(複素数) 6次方程式をDKA法で計算します。係数は複素数も使えます。
GCJ 2008 - R1A - C 高精度計算を利用して、 Google Code Jam 2008 - Round 1A - Problem C. Numbers http://code.google.com/codejam/contest/dashboard?c=32016#s=p2 を力技で解いてみます。 n = 69 までは整数部の精度が保証されているので、 Small dataset(2 ≦ n ≦ 30)はこれで通過できるのかもしれません。
Jesus Guilleraの円周率Π計算の公式 Jesús Guilleraさんがとんでもなく早く収束する円周率Πの公式を見つけています。試してみましょう。 ラマヌジャンの公式とチュドノフスキー兄弟の公式とも比べると面白いかも。
LambertのW関数 (第k解) ランベルトのW関数は z=w*exp(w)の逆関数 w=W(z)です。主要解の他に第k解まで計算できます。 主要解の場合はk=0としてください。
Lychrel numberを探して 56をひっくり返して65にして、足すと121のように回文数になります。このような操作を繰り返して、例えば57→57+75=132→132+231=363で2回で回文数に、89は24回で、10911は55回で回文数になります。何回繰り返しても回文にならないのがLychrel numbersです。196が最小の候補。
Stirlingの公式(nの階乗の近似計算)
n次方程式の解(複素数、nは20まで) n次方程式、a(n)*x^n +a(n-1)*x^(n-1)+...+a1*x+a0 = 0をDKA法で計算します。 nは最大20までです。20より下の次数を計算するときは、不要な高次の 係数は0にしておいてください。係数は複素数も使えます。
【標本抽出】誤差限界 (有限母集団の非復元抽出) 有限母集団の非復元抽出において、指定した条件を満足する「誤差限界」を求める。
【標本抽出】信頼率 (有限母集団の非復元抽出) 有限母集団の非復元抽出において、指定した条件を満足する「信頼率」を求める。
【標本抽出】標本の大きさ (有限母集団の非復元抽出) 有限母集団の非復元抽出において、指定した条件を満足する「標本の大きさ」を求める。
【標本抽出】母集団の大きさ (有限母集団の非復元抽出) 有限母集団の非復元抽出において、指定した条件を満足する「母集団の大きさ」を求める。
【標本抽出】母集団比率 (有限母集団の非復元抽出) 有限母集団の非復元抽出において、指定した条件を満足する「母集団比率」を求める。
n!の桁数(スターリングの公式を応用)
オイラーのφ関数(トーシェント関数) 正の整数 n に対して、1 から n までの自然数のうち n と互いに素なものの個数をφ(n)と書き、オイラーのφ関数またはトーシェント関数と言います。
カタラン数-CatalanNumber-
スターリングの近似
ディリクレ の イータ関数 ディリクレのイータ関数です。
ベッセル関数方程式の根の計算1
ベッセル関数方程式の根の計算2
ベッセル関数方程式の根の計算3
ベッセル関数方程式の根の計算4
ベッセル関数方程式の根の計算5
ペル方程式の最小解 ペル方程式(Pell's equation) X^2 - N・Y^2 = ±1 の最小整数解(X,Y)と一つ大きい解を求めます。 ここでNは平方数でない正の整数です。
ペレリマン数列(2乗してもとにもどる数 天に向かって続く数) 天に向かって続く数(加藤文元さん、中井保行さん著)に出てくるペレリマン数列(2乗するともとにもどる数)の計算です。
ポアソン乱数 ポアソン分布 P(X=n) = exp(-λ)λ^n / n! に従う乱数を生成します。
円の弧長,弦長,矢高,半径のどれか2つを与えて残りを計算 弧長(円弧の長さ)L、弦長d、矢高(円弧の高さ)h、半径rのどれか2つに値を入力して、残りの2つを0と入力すると、その残りの2つおよび中心角を計算します。L=r*θ, d=2*r*sin(θ/2), h=r*(1-cos(θ/2))を用い、ニュートン・ラフソン法で計算しています。
円周率の計算(ガウス・ルジャンドルの算術幾何平均法) 筑波大学の高橋さんらが達成した2兆5769億8037万桁までの円周率計算に使われていたアルゴリズムであるAGM法(ガウス・ルジャンドルアルゴリズム、算術幾何平均法)を確認します。 a0=1,b0=1/√2,t0=1/4,p0=1を初期値として、 an+1 = (an + bn) / 2 bn+1 = √(anbn) tn+1 = tn - pn * (an+1 - an)^2 pn+1 = 2*pn として、 π≒(an + bn)^2 / (4*tn) で計算しています。
円周率の計算(ラマヌジャンとチュドノフスキー) 円周率を計算する公式として知られている、ラマヌジャンの公式とチュドノフスキー兄弟の公式を比較します。 どちらも極めて早く収束する公式としてしられています。
拡張ユークリッド互除法 ax+by=cとなる整数a,b,c=GCD(x,y)を計算します。ただしx,yは自然数です。
合同式の逆元 a*x≡1 (mod m)となるx、つまりaの逆元を計算します。aは整数、mは2以上の整数です。
三角数判定
四元数
四元数の四則演算 四元数
七角錐数・六角錐数・五角錐数
七角錐数と六角錐数の比
正規分布の比(商)の分布 Fieller-Hinkley 2つの正規分布X1,X2の比(商)、X1/X2の分布を計算します。 X1とX2の平均値が0の時はコーシー分布ですが、そうでない場合はかなり複雑になります。
正実数の近似分数 Stern-Brocot木を探索し、与えられた正実数の近似分数を求めます。
双子素数 差が2であるような2つの素数を双子素数と言います。この双子素数を計算します。
楕円の円周と一方の径からもう一方の径を求める。 楕円の円周と一方の半径(長軸半径でも短軸半径でも可)からもう一方の半径を計算します。 ※楕円の円周は長軸半径aと離心率k=sqrt(1-b^2/a^2)、第二種完全楕円積分E(k)から L = 4a E(k) のようになります。この逆を計算するのにニュートン・ラフソン法を用いています。
超楕円(ラメ曲線)の円周の長さと面積 超楕円(ラメ曲線) |x/a|^n + |y/b|^n = 1 (n=2の時は通常の楕円) の円周と面積を計算します。
超冪を求める
特殊級数の和(逆数の和)の逆計算
特殊数列の和(逆数の和)の計算
分割数(映画:「奇蹟がくれた数式」より) 分割数p(n)は、自然数nを順序問わず自然数の和(自分含む)として何種類で表せるか?というものです。 ラマヌジャンとハーディの映画、奇蹟がくれた数式で大きく取り上げられていたので、その公開記念として 厳密な分割数p(n)とラマヌジャン・ハーディの漸近公式を計算します。nは250までです。
平方剰余の計算 x^2 ≡ a (mod p) が解を持つとき、aはpを法として平方剰余である、といいます。 pを与えてそれぞれのaが平方剰余になるかを計算します。