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無理数について
kyuchan さん2016-05-14 16:11:12
 無理数には、幅(大きさ、長さ、あるいは、距離?)がありますか?  又は、数直線上に一つの無理点を定点として(その位置を正確に)取ることができますか? どなたか教えてください。

Re: 無理数について  
zsuchida さん 2016-06-23 14:38:05
 無理数には、幅(大きさ、長さ、あるいは、距離?)がありますか?  
幅とは?長さはあります。
又は、数直線上に一つの無理点を定点として(その位置を正確に)取ることができますか?
原点(ある点)から1左にとって、垂直に1上げて、コンパスで、その点から元の原点から1の延長線上に落としたら、ルート2とならないかしら?
そんなことではない?

Re: 無理数について  
kyuchan さん 2016-06-24 15:33:55
 ご回答いただき有難うございます。
 やはり「無理数には長さがある。」ということでしょうか。(幅と書いたのは間違いでした。ごめんなさい。)
だとすれば、ルート2は無理数ですから、長さがあることになります。
 ただし、おっしゃるとおり、一辺の長さが1の正方形の対角線の長さは、ピタゴラスの定理により、ルート2ですから、数直線上にこの正方形を(おっしゃるような方法で)作図し、その対角線の長さをコンパスで落とすことはできると思います。これと、前述の「ルート2に長さがある。」こととは、矛盾しないのでしょうか?


Re: 無理数について  
polyester さん 2016-06-26 05:16:06
「数直線上に一つの無理点を定点として(その位置を正確に)取ることができますか? 」の、「正確に」の定義が良く分かりません。
任意の無理数について、その様な点を作図したいと云う意味でしたら不可能ですね。

Re: 無理数について  
kyuchan さん 2016-06-26 15:30:22
 たびたびすみません。
 ルート2は作図できる。即ち、数直線上に(コンパスで)落とすことができるが、その他の任意の無理数についてはは作図できない。と理解してよろしいでのしょうか?

Re: 無理数について  
polyester さん 2016-06-27 17:58:32
いわゆる三大作図問題(円積問題、立方体倍積問題、角の三等分問題)は、何れも不可能であると証明されてますが、その過程を再訪されますか?

Re: 無理数について  
filtero さん 2016-06-27 18:36:47
>数直線上に一つの無理点を定点として(その位置を正確に)取ることができますか?

無理です。無理数は数直線上に乗ってきません。

これを理解するには、数直線の定義を確認する必要があります。

ネットで「数直線の定義」を検索したら、
「ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説」がヒットしました。
以下のようでした。

数直線:
・実数を表わす直線。
・1つの直線 l を考え,l 上に1点Oをとり,0と対応させて E0 とし,また長さの単位を定めて,E0 から単位の長さだけ進んだところを E1 とし,線分 E0E1 に数1を対応させる

説明:
要は、数直線には「単位」が必要である、ということです。
したがって、数直線で正確に位置を指定できるのは単位上の数値だけです。
単位と単位の間にある数値は正確に位置を指定できません。

たとえれば、網で細かい砂を掬うみたいな事です。
網で細かい砂を掬っても、網の糸の上にある砂粒はとれますが、
網の目にある砂粒は掬えません。
網の目を細かくしてムダです。砂粒は無限に細かいんで。

無理数のだいたいの位置は分かります。
単位aと単位bの間にあることは指摘できますが、正確にはわかりません。